Febrero

Clase #12

Miércoles, 01 de Febrero del 2017

Distribuciones de muestreo

N: tamaño de la población

n: tamaño de la muestra

Definición

A la ley de probabilidad que sigue un estadístico se le denomina DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO

Distribución de muestreo de la media 

Suponemos que se tiene una muestra X1, X2,...;Xn de una población que tiene media μ y varianza σ^2. A partir de una muestra calculamos el promedio x, entonces:

1. E(x)=μ

2. V(x)=σ^2/n

3.

Teorema del límite central

Si una población tiene media μ y desviación típica σ, y tomamos muestras de tamaño n (n > 30, ó cualquier tamaño si la población es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribución:

Ejemplo:

Distribución de muestreo de la proporción

Supongamos que se tiene una muestra aleatoria X1, X2,...,Xn proveniente de una población que sigue una ley Bernoulli Be(p), definimos

donde Xi=1 con probabilidad p

       y  Xi=0 con probabilidad 1-p

           i=1, 2, 3,..., n

entonces y cuenta el número de éxitos en n intentos

la proporción de éxitos de la muestra es:

La variable aleatoria y sigue una distribución binomial Bi(n,p) Por lo que:

y se cumple:

por el Teorema del Límite Central

Por lo tanto:

Clase #13

Viernes, 03 de Febrero del 2017

Debido a que toda la facultad tuvo permiso el día viernes 03 de Febrero la clase de este día quedó suspendida.

Clase #14

Miércoles, 08 de Febrero del 2017

Distribución de muestreo de la varianza

Ley de distribución x² (ji cuadrado)

Sean X1,X2,...,Xn variables aleatorias independientes que siguen una distribución normal estándar, la variable aleatoria T definida:

sigue una distribución x²  con (n-1) grados de libertad definida por:

                                                             x² (n-1)

Esta distribución está definida para valores positivos y está tabulada

Para leer estos valores tabulados se debe:

          1.- Escoger los grados de libertad en la columna de la izquierda

          2.- Considere el nivel de significancia α en la primera fila

             3.- Localiza el valor de x² (n-1) en el cuerpo de la tabla

La distribución s² 

Supongamos que tenemos una muestra X1, X2,..., Xn de una población que sigue una ley normal N(μ, σ² ). A partir de la muestra calculamos la varianza muestral.

Entonces se cumple:

          1.- E (s²) = σ²

            2.- V (s²) = 2σ⁴/(n-1)

         3.- 

Estimación por intervalos

Definición:

Un intervalo de confianza (IC) es un rango de valores, calculado a partir de los datos muestrales, el cual probablemente incluye el verdadero valor del parámetro desconocido

A cada intervalo de confianza se le asocia una probabilidad (1-α) de que contenga el valor del parámetro que se pretende estimar, (1-α)100%: nivel de confianza

Los valores más usuales para (1-α)100% son:

-90% (Pruebas pilotos)

-95% (Tesis)

-99% (Investigaciones de alto nivel)

El nivel de significancia α representa el complemento del nivel de confianza y nos estaría dando la probabilidad de no encontrar el parámetro θ en el intervalo calculado

P(LIC ≤ θ ≤ LSC) = 1 - α

Donde:

θ: Parámetro de interés

LIC: Límite inferior del intervalo de confianza

LSC: Límite superior del intervalo de confianza

El ancho del intervalo nos da la idea de cuanta INCERTIDUMBRE existe al rededor del valor del parámetro θ. Un intervalo muy ancho nos indica que deberíamos formar más datos antes de afirmar algo sobre el parámetro.

Intervalos de confianza

1) Muestras grandes (n ≥ 30)

     Estimación de la media poblacional μ

Clase #15

Viernes, 10 de Febrero del 2017

Intervalo de confianza para la proporción
Suponga se tiene una muestra X1, X2,..., Xn de tamaño "n" provenientes de una ley de Bernoulli, cuyo parámetro "p" deseamos estimar

Tamaño de la muestra (n)

Intervalo de confianza para la varianza

Supongase que se desea estimar la varianza y que se dispone de una muestra de un conjunto de n mediciones X1, X2,..., Xn que suponemos provienen  de una ley normal.

Un intervalo de confianza para la varianza poblacional σ² , a un nivel de confianza (1-α)100% está dado por:

donde:

s² : varianza muestral

(n-1): grados de libertad

2) Muestras pequeñas (n ≤ 30)

Intervalo de confianza de la media poblacional

donde:

$$
{\displaystyle {\overline {X}}} : media muestral
s: desviación estándar muestral
n: tamaño de la muestra

Distribución t-student

La distribución t-student surge de la necesidad de estimar la media de poblaciones normales cuando las muestras son pequeñas

t: valor de distribución t-student con n-1 grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad de α/2

Observaciones:

          1.- Si n ≥ 30 ,se usa tabla de distribución normal

          2.- Si n ≤ 30 ,se usa tabla de distribución t-student

          3.- Si el valor buscado no está en la tabla se realiza interpolación lineal

          4.- Si existen datos atipicos no se usa t-student

Clase #16

Miércoles, 15 de Febrero del 2017

Clase de ejercicios de aplicación y aclaración de fechas de la prueba número 4 y el examen, además se fijó la fecha de entrega de notas finales.

Se realizaron ejercios como el siguiente:

La cotización diaria de una moneda frente al dólar sigue una distribución normal de media y varianza desconocidas, se designan 9 días al azar, la cotización fue
65.3  66.2  65.8  66.0  66.1  64.5  65.2  65.2  67.1  64.2
a) Determine un intervalo de confianza del 99% para la cotización media
b) Con qué confiabilidad se estima la media en un intervalo cuya longitud es 1.116

Después de esto se realizó un trabajo en clase entregado a la Ingeniera el día 17 de Febrero



   

Clase #17

Viernes, 17 de Febrero del 2017

Prueba número 4 del semestre y examen final de la materia de Probabilidad y Estadística dando por finalizada la materia en el ciclo 2016-B